Matematikk som medisinsk verktøy

Tenk deg at eit hjarteinfarkt under utvikling kan oppdagast ved å kombinere EKG med matematiske utrekningar. Kompliserte likningar som beskriv kva som skjer i kroppen, må løysast ved hjelp av datamaskin, og ei doktoravhandling ved NMBU kan no gjere det enklare å utvikle programvare for medisinsk bruk.

Matematikk som medisinsk verktøy

Ole Løseth Elvetun disputerer 9. oktober 2015 for graden ph.d. ved Noregs miljø- og biovitskaplege universitet med avhandlinga «Preconditioners and diffuse domain methods».

Matematikk vert i dag nytta innan dei fleste fagfelt. Det har vorte eit essensielt verktøy for å lage modellar av ei lang rekkje fenomen. Veldig mange av desse problema kan beskrivast ved hjelp av noko som heiter partielle differensiallikningar (PDE). Dette er ei matematisk grein der også endringar av den ukjende vert ein del av likninga.

På ein varm sommardag vil til dømes storleiken på ein softis vere ein funksjon av kor raskt den smeltar. Vi seier at likninga kan modellere verknaden (smeltinga) av årsaken (varmen). Men ofte er det slik at vi ikkje kan observere årsaken, bare verknaden. Då får vi eit matematisk problem som er meir komplisert å løyse: eit PDE-betinga optimeringsproblem. Sjølv om dette høyrast veldig eksotisk ut, er det ei aktuell problemstilling for veldig mange fagfelt, deriblant medisin.

Hjarteinfarkt kan oppdagast på førehand
I doktoravhandlinga si har Ole Løseth Elvetun studert eit slikt optimeringsproblem innan medisinsk forsking. For at hjartet kan slå, er det avhengig av ein elektrisk straum som gjer at det kan trekkje seg saman. Denne straumen er eit resultat av ei endring i det elektrisk potensialet i hjartet, og kan følgjeleg modellerast ved hjelp av ei partiell differensiallikning. Viss ein pasient har eit iskemisk hjarteinfarkt, ei fortetting av ei av blodårene som forsyner hjartet med blod, så vil det elektriske potensiale i hjartet endre seg i denne regionen.

Iskemi er ein forløpar for eit fullt hjarteinfarkt og det er difor avgjerande at dette vert oppdaga i tide. Forskarar som har jobba med dette, har foreslått å bruke matematikk og EKG-målingar for å avdekkje slike iskemi. Ideen er at sidan eit EKG målar elektrisk potensial på kroppsoverflata så kan vi nytte ei partiell differensiallikning til å avgjere kva for eit område i hjartet som er råka av det iskemiske infarktet. Spørsmålet er: Kor er iskemien (årsaken) som gir det elektriske potensialet som kan målast på kroppsoverflata (verknaden)?

Dette har vore studert tidlegare, men mange uløyste problem er undersøkt i dette doktorgradsarbeidet. Mange av problemstillingane er matematisk relevante i ein større samanheng enn for dette konkrete medisinske dømet, og er difor studert i frå eit meir generelt synspunkt. Resultata frå arbeidet kan då nyttast i andre samanhengar. 

Kompliserte likningar kan løysast på datamaskina
Ein liten feil i målingane (her EKG-målingar) kan gi eit heilt feil resultat når eit optimeringsproblem skal løysast. Sidan slike målefeil er uunngåeleg i praksis, er ein nøydd til å gjere problemet meir stabilt. Det fins fleire måtar å gjere dette på, og Elvetun har studert to av dei mest kjende stabiliseringsmetodane, totalvariasjons- og Tikhonovregularisering. Sidan eit slikt optimeringsproblem ofte får fleire millionar ukjende når ein skal representere det på ei datamaskin, er det heilt naudsynt at ein klarer å løyse det raskt. Dette har Elvetun oppnådd med omsyn på dei to stabiliseringsmetodane han har studert. For begge metodane har han endra likningane (ved bruk av prekondisjonerarar) til ein slik form at problemet vert raskare å løyse med numeriske metodar.

Det andre hovudfokuset i oppgåva har vore numerisk representasjon av domenet vi jobbar på. Skal ein løyse ei likning som beskriv kva som skjer i hjartet og kroppen, må denne geometrien representerast på ei datamaskin. Dette kan vere komplisert å få til i enkelte tilfelle. Ei mogleg løysing på dette er då heller å pakke kroppen inn i ein enklare geometri og så bruke ein såkalla  indikatorfunksjon for å halde kontroll på kor den opphavlege kroppen er (Ein kan førestille seg ein kropp som vert pakka inn i sand på stranda og at funksjonen er ein pinne som vi kan bruke til å føle oss fram til kor kroppen ligg).

Vi treng då berre å beskrive denne enkle, omsluttande geometrien, til dømes ein boks, på datamaskina. Utfordringa med denne framgangsmåten er at problemet vert endra sidan geometrien er endra. Vi kan då bruke indikatorfunksjonen for å få eit problem som er tilnærma likt det opphavlege problemet («diffuse domain»-metodar). Det vert synt i avhandlinga at løysinga med å omslutte kroppen i ein enklare geometri, gir ei løysing som er tilnærma lik løysinga av det opphavlege optimeringsproblemet. Dette kan gjere det enklare å utvikle programvare for medisinsk bruk.

Published 30. september 2015 - 12:43 - Updated 23. mai 2017 - 19:18